می دانیم که از یک نقطه خارج از یک خط مستقیم، یک خط و تنها یک خط می توان به موازات آن رسم کرد. ولی آیا می دانید هندسه هایی ابداع شده اند که در آنها از یک نقطه خارج از یک خط راست هیچ خط و یا بیش از یک خط می توان به موازات خطی معین رسم کرد. حالت دوم به هندسه ای منجر می شود که «هندسه هذلولی» نام دارد و نخستین بار توسط ریاضیدان روس، نیکلای ایوانوویچ لوباچفسکی ابداع شد و به همین دلیل به آن هندسه لوباچفسکی نیز می گویند.نیکلای ایوانوویچ لوباچفسکی در اول دسامبر سال ۱۷۹۲ در شهر نیژنی نووگورود چشم به جهان گشود. از وضع پدرش آگاهی کمی در دست داریم، کارمند جزء و ظاهرا هندسه دان ناحیه بوده است و به سختی هزینه و درآمد خود را سر به سر می کرد. یانیشفسکی نخستین کسی که زندگینامه لوباچفسکی را نوشته است، می گوید: «فقر و محرومیت، گهواره لوباچفسکی را در میان گرفته بود.» خانواده لوباچفسکی از طرف مادر با سروانی به نام شبارشین خویی داشت که به یاری آنها می شتافت و از کودکان خانواده لوباچفسکی همچون مردمک چشم هایش نگهداری می کرد. ولی در سال ۱۷۹۷ چشم از جهان فرو بست و وضع خانواده بدتر از بد شد. احتمالا کمی بعد از این حادثه بود که مادر خانواده به خاطر آموزش پسرانش الکساندر نیکلا و آلکسی عازم و ساکن قازان شد.نیکلا در سال ۱۸۰۲ وارد مدرسه قازان شد. دانشگاه قازان که در سال ۱۸۰۵ باز شد از این مدرسه منشعب شده بود. لوباچسفکی با آمادگی ریاضی که امروز هم می توان آن را بسیار خوب دانست وارد دانشگاه شد. این آمادگی به او امکان داد تا به سرعت به آموزش عمیقی در زمینه دانش های دقیق دست یابد. نیکلا در ماه فوریه سال ۱۸۰۷ وارد دانشگاه شد و تا آخرین روزهای زندگی اش وابسته به دانشگاه قازان باقی ماند. لوباچفسکی احتمالا به خاطر میل مادرش در آغاز به تحصیل پزشکی پرداخت ولی به زودی بارتل ریاضیدان برجسته و مربی باارزشی که آوازه شهرتش از مدت ها پیش در دانشگاه قازان پیچیده بود وارد دانشگاه شد. از او استقبالی سرشار از محبت و احترام به عمل آمد. دانشجویان علاقه مند به ریاضیات در کلاس های او حضور یافتند و لوباچفسکی هم برای استفاده از درس های او پزشکی را کنار گذاشت. بین دانشجو و استاد رابطه گرمی برقرار شد. بارتل به طور خصوصی هم با لوباچفسکی کار کرد و او را یاری داد تا به مشکلات کتاب های رسمی ریاضی فائق آید. لوباچفسکی با اشتیاق بسیار کار می کرد. دانش های که او در ظرف دو یا سه سال به آنها پرداخت، واقعا حیرت آور است. تردید نمی توان کرد که لوباچفسکی تنوع آگاهی های ریاضی خود و دقت ذهنی اش را در این زمینه، به طور عمده مدیون بارتل است. لوباچفسکی به جز ریاضیات به فیزیک و اخترشناسی هم پرداخت، به نحوی که پس از دانشگاه می توانست این دانش ها را تعلیم دهد، حتی بعدها کرسی های این دانش ها را اشغال کرد. لوباچفسکی در سال ۱۸۱۴ به دستیاری دانشگاه منصوب شد هر چند که در این زمان تعداد استادان به طور قابل ملاحظه ای افزایش یافته بود ولی هنوز دانشگاه نتوانسته بود به صورت یک موسسه آموزش عالی به معنای دقیق کلمه درآید و مطابق برنامه اش کار کند. در سال ۱۸۱۴ «افتتاح کامل دانشگاه با کادری که در برنامه سال ۱۸۰۴ سال تاسیس دانشگاه پیش بینی شده بود» انجام گرفت. دانشگاه طی دورانی که متاسفانه دراز نبود، منظره عادی یک موسسه آموزشی عالی را به خود گرفت. فعالیت آن به طور قابل ملاحظه ای افزایش یافت که لوباچفسکی هم در آن شرکت داشت. در آن زمان او بیش از ۲۲سال نداشت و درس هایش او را به کلی به خود مشغول کرده بود. دو سال به استادی انتخاب شد. ولی همان طور که اشاره شد این دوره نسبتا آرام حیات دانشگاه قازان زیاد نپایید. در سال ۱۸۱۹ از طرف بعضی مرتجعین و بدخواهان گزارشی تهیه شد که شامل مجموعه ای از اتهام ها و دروغ ها بود و «انحلال رسمی» دانشگاه قازان را پیشنهاد کرد. این پیشنهاد پذیرفته نشد لیکن به خدمت ۹ استاد خاتمه دادند و استادان خارجی که کرسی های علمی را در اختیار داشتند روسیه را ترک گفتند. وضع دانشکده علوم فیزیک و ریاضی، بیش از هر جای دیگر اسف انگیز بود. با عزیمت چند استاد به خارج از روسیه و فوت یکی از استادان تقریبا تمامی آموزش ریاضیات و فیزیک، به گردن لوباچفسکی جوان افتاده بود و کاملا طبیعی است که این وظیفه تمامی وقت و نیروی لوباچفسکی را می گرفت. لوباچفسکی مجبور شد در انزوای کامل و دور از مراکز اروپایی اندیشه ریاضی خود را به کار گیرد. امروزه می توان از یکی از درس هایی که لوباچفسکی برای دانشجویان سال اول در نظر گرفته بود، با عنوان «هندسه مقدماتی از دیدگاه ریاضیات عالی» مشخص کرد. هدف این درس این بود که به طور جدی تر روشن کند اصول بنیادی هندسه را نمی توان روی نیمکت های دبیرستانی درست کرد. لوباچفسکی به طور کلی روی طرحی کار می کرد که دالامبر ریاضیدان و دایره المعارف نویس نامی در یکی از نوشته های خود در دایره المعارف اش عنوان کرده بود. او در سال ۱۸۲۳، خلاصه ای از این درس را زیر نام «هندسه» تنظیم و درخواست چاپ آن را کرد. سرپرست دانشگاه، با توجه به اظهارنظر نامساعد فوس یکی از اعضای فرهنگستان این درخواست را رد کرد. وقتی که سرپرست دانشگاه دستنویس لوباچفسکی را برای فوس فرستاد، نامی از یک جزوه دبیرستانی است. ولی فوس با لوباچفسکی هم خوب نبود، زیرا لوباچفسکی در نوشته های خود از دستگاه متری، تقسیم صدقسمتی زاویه و غیره که ناشی از انقلاب فرانسه بود جانبداری می کرد و این اندیشه ها به نظر فوس، مولود زمانی بود که در آن «خشم از میان برداشتن تمامی گذشته، تا تقویم و تقسیم های دایره گسترش یافته بود.» اجازه چاپ رد شد لیکن بعدها در سال ۱۸۹۸، نوشته لوباچفسکی در بایگانی مدیر آموزش ناحیه قازان پیدا شد. لوباچفسکی در این کتاب با طرح اندیشه های بنیانی هندسه مقدماتی نمی توانست از اصل موضوع توازی چشم بپوشد. لوباچفسکی ضمن بیان این اصل موضوع می افزاید: «تاکنون اثبات دقیقی از این حکم به دست نیامده است. آنچه را که تاکنون به نام اثبات آورده اند، توضیحاتی بیش نمی توان نامید و استحقاق این را ندارد که همچون اثبات واقعی ریاضی در نظر گرفت.» از این جمله ها می توان دریافت که لوباچفسکی از سال ۱۸۲۳ به روشنی متقاعد شده بود که هیچ کدام از اثبات های اصل موضوع پنجم اقلیدس که تا آن زمان عرضه شده بود، نمی توانست قانع کننده باشد. با این وصف، او در این کتاب امکان پیدا کردن یک اثبات کامل را نفی نمی کند. سال های بعد، لوباچفسکی تمامی دقت خود را روی این مسئله متمرکز کرد و بالاخره توانست به حل مسئله ای که در طول دو هزار سال همچون یک معما جلوه می کرد توفیق یابد. لوباچفسکی در ۲۳ فوریه سال ۱۸۲۶، در برابر بخش فیزیک و ریاضی دانشکده، نطقی ایراد کرد که بعدا به صورت یک یادداشت به زبان فرانسه و زیر عنوان «گزارش کوتاهی از اصول هندسی همراه با اثبات دقیق قضیه موازی ها» ارائه شد. می توان گفت که در همین روز بود که هندسه نااقلیدسی متولد شد. لوباچفسکی همچون بیشتر ریاضیدانان پیش از خودش، تلاش می کند که اصل موضوع توازی را، از راه برهان خلف، ثابت کند. او فرض می کند که: از نقطه C واقع در خارج خط راست AB و در صفحه ای که از خط AB و نقطه C می گذرد، می توان بیش از یک خط راست رسم کرد، به نحوی که هیچ کدام از آنها، خط AB را قطع نکنند. او از این فرض، که این نتیجه گیری ها، که بسیار دقیق و استادانه به هم پیوسته اند، به هیچ گونه تناقضی منجر نمی شوند، بلکه برعکس خود یک هندسه کامل و هماهنگ را تشکیل می دهند که لوباچفسکی آن را «هندسه تخیلی» می نامد. گاوس به این هندسه نام «هندسه نااقلیدسی» را می دهد و ما امروز آن را هندسه هذلولی یا هندسه لوباچفسکی می نامیم. در هندسه نااقلیدسی، نقیض اصل توازی را به عنوان اصل موضوع مفروض می گیریم. یعنی این گزاره را که «از یک نقطه خارج از یک خط راست بیش از یک نقطه می توان به موازات آن رسم کرد» به جای اصل موضوع توازی اقلیدس قرار می دهیم. این امر به هندسه حیرت انگیزی منجر می شود که با هندسه اقلیدسی تفاوت اساسی دارد. به قول گاوس قضایای این هندسه به باطلنما می مانند و شاید در نظر فردی مبتدی بی معنی جلوه کنند. ولی تفکر پیگیر و آرام آشکار می سازد که هیچ چیز ناممکن در آنها نیست، مثلا، سه زاویه مثلث تا بخواهید می توانند کوچک شوند به شرطی که اضلاع آن به اندازه کافی بزرگ شوند و تازه اضلاع مثلث هرچه باشند، مساحت مثلث هیچ گاه نمی تواند از حد معینی زیادتر شود و در واقع هیچ گاه هم نمی تواند به آن برسد.در هندسه هذلولی می توان ثابت کرد که اگر دو مثلث متشابه باشند، آنگاه قابل انطباق اند. به عبارت دیگر ملاک «ززز» برای قابلیت انطباق درست است در این هندسه، هندسه هذلولی ممکن نیست مثلثی را بدون انداختن از شکل طبیعی بزرگ یا کوچک کرد. در نتیجه در یک جهان هذلولی، عکاسی ذاتا جنبه فراواقعگرایی سوررئالیستی پیدا خواهد کرد. یک نتیجه تکان دهنده قضیه مذکور این است که در هندسه هذلولی یک پاره خط می تواند به کمک یک زاویه مشخص شود. یعنی یک زاویه از یک مثلث متساوی الساقین، طول یک ضلع را به طور منحصر به فرد معین می سازد. همان طور که در نامه گاوس به تاورینوس نیز ذکر گردید، اغلب با بیان اینکه هندسه هذلولی واحد مطلق طول دارد، این نکته را هیجان انگیزتر می کنند. اگر هندسه جهان مادی هندسه هذلولی بود لازم نبود واحد طول با دقت در دفتر استانداردها نگاهداری شود.
در هندسه اقلیدسی، تقسیم هر زاویه به سه قسمت برابر، به وسیله ستاره خط کش غیرمدرج و پرگار تنها، نشدنی است. در هندسه هذلولی، علاوه بر آنکه این تقسیم نشدنی است، تقسیم هر پاره خط به سه قسمت برابر نیز به وسیله ستاره و پرگار تنها، نشدنی است. در هندسه اقلیدسی، رسم چهارضلعی منتظمی که مساحت آن برابر مساحت دایره مفروضی باشد، شدنی نیست ولی در هندسه هذلولی این کار شدنی است.در آن زمان تنها یک آدم بانفوذ بود که کار لوباچفسکی را می فهمید و به آن ارج می گذاشت: گاوس ولی او هم تنها ۱۱سال بعد از نشر نخستین شرح حال لوباچفسکی در «پیام قازان» وقتی که کتاب کوچک لوباچفسکی با نام «بررسی های هندسی درباره موازی ها» که در ۱۸۴۰ منتشر شده بود به دستش رسید، با کارهای هندسه دان بزرگ آشنا شد. وقتی که گاوس این کتاب را که یکی از شاهکارهای ریاضی است به دقت بررسی کرد به ارزش واقعی آن پی برد و در نامه هایی که برای دوستانش گرلینگ و شوماخر فرستاد، با کلماتی گرم کتاب را به آنها توصیه کرد. او تا اندازه ای برای دسترسی به سایر نوشته های لوباچفسکی حتی زبان روسی را فراگرفت و به جامعه علمی گوتینگن که در آن زمان ماهیت یک فرهنگستان را داشت کمک و شخصا از انتخاب او پشتیبانی کرد. در مطبوعات روسی و آلمانی آن زمان، مقاله های زیادی نشر یافت که کارهای لوباچفسکی را به مسخره می گرفت. حمله هایی که لوباچفسکی را هدف قرار می داد، از طرف کسانی بود که قدرت درک اندیشه های او را نداشتند و این دانشمند نابغه را دچار تلخکامی می کردند. در زندگی لوباچفسکی نه تنها از او تحسین نشد بلکه با هندسه نااقلیدسی با دشمنی و کوتاه بینی برخورد کردند و او را آماج نیشخندهای فراوان قرار دادند. مقاله های نیشدار و پراستهزا، از طرف افراد بانفوذ علیه او چاپ شد، بدون اینکه بتواند به آنها پاسخ دهد. از چاپ اعتراض های او جلوگیری می کردند. چنین بود وضع غم انگیز لوباچفسکی وضعی مشابه آنچه که برای تاورینوس و بولیایی دیگر پیشروان آفرینش هندسه نااقلیدسی پیش آمد و اولی را به جنون دچار کرد و دومی را در مالیخولیای عمیقی فرو برد. چه عامل هایی لوباچفسکی را از چنین سرنوشتی رهایی بخشید بیش از همه قدرت روحی، انرژی، ظرفیت کار و اعتقاد بی حدی که به آموزش عمومی و به خصوص علاقه ای که به دانشگاه قازان داشت. لوباچفسکی از ۲۰سالگی تا پایان زندگی اش، دست از فعالیت سخت خود به خاطر کارهای اداری و اجتماعی نکشید، به نحوی که حتی تا امروز هم اثر آن را در دانشگاه قازان می توان دید. در سال ۱۸۲۷ لوباچفسکی به سمت ریاست دانشگاه برگزیده شد.او بلافاصله آغاز به کار کرد. لوباچفسکی بیش از ۳۳سال نداشت ولی با وجود کمی تجربه اش در امور اداری، توانست به طور کامل امیدهایی را که به او بسته بودند برآورده سازد. میزان احترامی که برای او به عنوان رئیس دانشگاه قائل بودند، از اینجا می توان فهمید که شش بار متوالی به این سمت برگزیده شد و این مسئولیت را در حدود ۲۰سال از ۱۸۲۷ تا ۱۸۴۶ به عهده داشت. دانشگاه با مدیریت لوباچفسکی کادر آموزشی خود را تا آنجا که در آن زمان مقدور بود تکامل بخشید.
با مشارکت فعال او، کتابخانه دانشگاه، یکی از غنی ترین کتابخانه های کشور شد و در همه دانشکده ها، مجموعه های علمی مهم گردآوری شد. لوباچفسکی نشریه علمی دانشگاه قازان را تاسیس کرد که تا امروز هم ادامه دارد. لوباچفسکی برای گسترش ساختمان دانشگاه هم تلاش های زیادی کرد و اعتبارهای لازم را به دست آورد. به مناسبت اینکه رئیس کمیسیون ساختمان ها بود، برای اینکه بهتر بتواند وظیفه های خود را انجام دهد، حتی به تحصیل معماری پرداخت. وقتی که هنگام دیدار از شهر قازان، بپرسید که ساختمان های دانشگاه در چه تاریخی به شکل امروزی درآمده است، به شما پاسخ خواهند داد که این کار لوباچفسکی است. این مرد بزرگ نشان خود را در هر گوشه دانشگاه و در زمینه های به کلی گوناگون آن باقی گذاشته است. لوباچفسکی طی دوران فعالیت خویش در دانشگاه قازان، هرگز تدریس خود را قطع نکرد و به خاطر نیازی که وجود داشت در حدود ۴۰سالگی در سال ۱۸۳۲ ازدواج کرد. در سال ۱۸۴۶ ، ۳۰ سال از دوران استادی لوباچفسکی می گذشت. بنابر مقررات دانشگاه این حداکثر مدتی بود که یک استاد می توانست یک کرسی را اشغال کند. شورای دانشگاه طی درخواستی از لوباچفسکی خواست که در زمره استادان باقی بماند و سمت مدیریت خود را حفظ کند و تاکید می کند که این افتخار بزرگی برای دانشگاه است. ولی لوباچفسکی این درخواست را نپذیرفت و خواستار بازنشستگی شد.شاید بسیار عجیب باشد ولی واقعیت دارد که تعداد فرزندان لوباچفسکی به درستی معلوم نیست و مشخص کردن آنها دشوار است. یکی از دختران لوباچفسکی در خاطرات خود می نویسد که پدر و مادر او ۱۵ بچه داشتند. برادرش از عدد ۱۸ صحبت می کند که احتمال درستی آن کم است. کاملا ممکن است که بعضی ها در سنین پایین و حتی به محض تولد، درگذشته باشند. ولی آنچه مسلم است، تعدادشان زیاد بود. فوت بعضی از فرزندان و بلاهای سخت خانوادگی دیگر به شدت بر لوباچفسکی اثر گذاشت. نیکلای ایوانویچ شاد و سرزنده، دیگر پیر شده و فرتوتی زودرس به سراغش آمده بود. لوباچفسکی همیشه مراقب همکاران، زیردستان و به ویژه دانشجویان بود و با روی خوش از آنها استقبال می کرد.با وجود این، او احساس می کرد که تقریبا همه کسانی که سابقا با او بودند و با کمال میل و رغبت به خانه او رفت و آمد می کردند، او را ترک گفته اند. او غالبا غم زده و اندوهگین می نشست و پیپ می کشید.وحشت آورتر از همه تهدید کوری بود. اغلب کوری لوباچفسکی را به خاطر ریز نوشتن او می دانند، هر چند که ممکن است این موضوع بی اثر نبوده باشد اما علت اصلی در جایی دیگر بود. کار بی وقفه، شدت کوشش ذهنی مداوم و گرفتاری های سختی که لوباچفسکی در تمامی طول زندگی خود گرفتار آنها بود، تصلب زودرسی را موجب شده بود که عواقب دیگر آن هم به زودی پدیدار شد.
توجه احترام انگیز به او و یا یک موفقیت ناچیز، کافی بود که او را تسکین دهد و تا مدتی روحیه اش را بهبود بخشد.
او مجبور شد در سال پیش از مرگش به علت نابینایی کتابش را با استفاده از شاگردانش تقریر کند تا برایش بنویسند. وقتی که لوباچفسکی به عضویت افتخاری دانشگاه مسکو به مناسبت صدمین سالگرد فعالیت این دانشگاه درآمد، نامه زیر را دریافت کرد:«با احساس قدردانی از خوبی های شما در حق دولت و دانش، دانشگاه امپراتوری مسکو، با اعتقاد کامل به اینکه شما از هرچه که بتوانید در امر توسعه دانشگاه دریغ نخواهید کرد، شما را در زمره عضوهای افتخاری خود برگزیده است. همراه این نامه، گواهینامه مربوط به این عنوان را با یک مدال نقره و یک نسخه از همه آثار منتشر شده به مناسبت یکصدمین سال تقدیم می دارد و از جنابعالی تقاضا دارد آنها را بپذیرید.»لوباچفسکی به عضویت افتخاری دانشگاه قازان هم برگزیده شد، ولی هیچ کدام از اینها نتوانست برای زندگی رو به خاموشی او تسلایی باشد. او در ۱۲ فوریه سال ۱۸۵۶ در سن ۶۴ سالگی بدرود زندگی گفت. در سال ۱۹۸۶ بنای یاد بودی برای او در قازان ساخته شد.